Question

【題目】如圖，四邊形ABCD與四邊形CEFG是兩個正方形，邊長分別為a，b，其中B，C，E在一條直線上，G在線段CD上，三角形AGE的面積為S.

(1)①當a=5，b=3時，求S的值；

②當a=7，b=3時，求S的值；

(2)從以上結果中，請你猜想S與a，b中的哪個量有關？用字母a，b表示S，并對你的猜想進行證明.

Answer 1

【答案】（1）①4.5；②4.5；（2）S=b2，證明見解析

【解析】

（1）①根據S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG，即可得出答案；②方法同①；

（2）結論S=b2，根據S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG即可證明.

（1）①∵四邊形ABCD與四邊形CEFG是兩個正方形，AB=5，EC=3，

∴DG=CD－CG=5－3=2．

∴S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG

=25＋9－×8×5－×5×2－×3×3=4.5．

②∵四邊形ABCD與四邊形CEFG是兩個正方形，AB=7，EC=3，

∴DG=CD－CG=7－3=4．

∴S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG

=49＋9－×10×7－×7×4－×3×3=4.5

（2）結論S=b2．

證明：∵S△AEG=S正方形ABCD＋S正方形ECGF－S△ABE－S△ADG－S△EFG

=a2＋b2－（a＋b）a－a（a－b）－b2

=a2＋b2－a2－ab－a2＋ab－b2

=b2，

∴S=b2．