Question

如圖，矩形OABC擺放在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=3，OC=2，P是BC邊上一點且不與B重合，連結AP，過點P作∠CPD=∠APB，交x軸于點D，交y軸于點E，過點E作EF∥AP交x軸于點F．
（1）若△APD為等腰直角三角形，求點P的坐標；
（2）若以A，P，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形，求直線PE的解析式．

Answer 1

（1）P（1，2）；（2）PE的解析式為：y=2x﹣2

解析試題分析：（1）由等腰直角三角形的性質可知∠PAD=∠PDA=45°，再由矩形的性質求得∠1=∠2=45°，進而求得AB=BP=2即可求得．
（2）根據平行四邊形的性質得出PD=DE，根據矩形的性質以及已知條件求得PD=PA，進而求得DM=AM，然后通過得出△PDM≌△EDO得出OD=DM=MA=1，EO=PM=2，即可求得．
試題解析：（1）如圖1，∵△APD為等腰直角三角形，∴∠APD=90°，
∴∠PAD=∠PDA=45°，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA∥BC，∠B=90°，AB=OC，
∴∠1=∠2=45°，
∴AB=BP，
又∵OA=3，OC=2，
∴BP=2，CP=1，
∴P（1，2），
（2）如圖2∵四邊形APFE是平行四邊形，
∴PD=DE，
∵OA∥BC，
∴∠CPD=∠4，∠1=∠3，
∵∠CPD=∠1，
∴∠3=∠4，
∴PD=PA，
過P作PM⊥x軸于M，
∴DM=MA，
又∵∠PDM=∠EDO，∠PMD=∠EOD=90°，
在△PDM與△EDO中，
，
∴△PDM≌△EDO（AAS），
∴OD=DM=MA=1，EO=PM=2，
∴P（2，2），E（0，﹣2），
∴PE的解析式為：y=2x﹣2；


考點：一次函數綜合題