Question

【題目】已知：拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，2）

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，是否存在使△PBC面積最大的點(diǎn)P？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，﹣1），連接AD，將線段AD繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度得線段MN（點(diǎn)M、N分別與點(diǎn)A、D對(duì)應(yīng)），使點(diǎn)M、N都在拋物線上，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值為4，此時(shí)P（2，3）；（3）N（1，3），M（3，2）．

【解析】

(1) 根據(jù)拋物線y=y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A (-1, 0)C(0,2)兩點(diǎn),列出b和c的二元一次方程組,求出b和c的值, 進(jìn)而求出拋物線的表達(dá)式;

(2)過點(diǎn)P作PQ//y軸,交直線BC于Q,設(shè)P(x,),則Q(x,);求出PQ的長(zhǎng), 利用=PQ.OB列出S關(guān)于的二次函數(shù), 利用函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)作輔助線,根據(jù)線段AD繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度得線段MN可知: 旋轉(zhuǎn)后的MN與AD平行且相等,構(gòu)建全等三角形:ΔADG≌ΔMNG,根據(jù)A、 D兩點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn), N點(diǎn)向下平移1個(gè)單位再向右移動(dòng)兩個(gè)單位得M,設(shè)N的坐標(biāo)為:設(shè)N(m,) , 根據(jù)平移規(guī)律表示M (m+2, ) , 代入拋物線的解析式即可

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，2），

∴，

解得，

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+x+2；

（2）∵令y=0，則=﹣x2+x+2=0，

解得x1=﹣1，x2=4

∴B（4，0），

∴直線BC：y=﹣x+2；

如圖1，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線BC于Q，

設(shè)P（x，﹣x2+x+2），則Q（x，﹣x+2）；

∴PQ=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，

S△PCB=PQOB=×（﹣x2+2x）×4=﹣（x﹣2）2+4；

當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值為4，此時(shí)P（2，3）；

（3）如圖2，過D作DG⊥x軸于G，過N作NH∥y軸，過M作MH∥x軸，交于H，

由題意得：△ADG≌△MNG，

∵A（﹣1，0），D（1，﹣1），

∴AG=2，DG=1，

∴NH=DG=1，MH=AG=2，

設(shè)N（m，﹣m2+m+2），則M（m+2，﹣m2+m+2﹣1），

把M的坐標(biāo)代入拋物線y=﹣x2+x+2中得：

﹣（m+2）2+（m+2）+2=﹣m2+m+2﹣1，

解得：m=1，

當(dāng)m=1時(shí)，﹣m2+m+2=3，

∴N（1，3），M（3，2）．