Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，且點C為⊙O上的一點，∠BAC=30°，M是OA上一點，過M作AB的垂線交AC于點N，交BC的延長線于點E，直線CF交EN于點F，且∠ECF=∠E．

（1）證明：CF是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為1，且AC=CE，求MO的長．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）．

【解析】

（1）要證CF為⊙O的切線，只要證明∠OCF=90°即可；

（2）根據三角函數求得AC的長，從而可求得BE的長，再利用三角函數可求出MB的值，從而可得到MO的長．

（1）如圖，連接OC．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．

∵∠BAC=30°，∴∠ABC=60°；

在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE=90°，∴∠E=30°；

∵∠E=∠ECF，∴∠ECF=30°，∴∠ECF+∠OCB=90°；

∵∠ECF+∠OCB+∠OCF=180°，∴∠OCF=90°，∴CF為⊙O的切線；

（2）在Rt△ACB中，∠A=30°，∠ACB=90°，

∴AC=ABcos30°=，BC=ABsin30°=1；

∵AC=CE，∴BE=BC+CE=1+．

在Rt△EMB中，∠E=30°，∠BME=90°，

∴MB=BEsin30°=，

∴MO=MB﹣OB=．