Question

【題目】已知關于x的二次函數y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4．

(1)設二次函數y的圖象與x軸的交點為A(x1，0)，B(x2，0)，且x12＋x22＝5，求二次函數的表達式；

(2)在(1)的條件下，設二次函數的圖象與y軸交于點C，且在同一平面內，以A，B，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=x2+3x+2；(2) P點坐標為：（-1，2）或（1，2）或（-3，-2）．

【解析】

(1)利用根與系數的關系用m表示出x12+x22，然后列出方程，再求解即可；
(2)先求出A，B，C，三點的坐標，然后分三種情況討論點P的坐標即可．

(1)由根與系數的關系得，x1+x2=2m-1，x1x2=m2+3m+4，
∵x12+x22=5，
∴（x1+x2）2-2x1x2=5，
∴（2m-1）2-2（m2+3m+4）=5，
整理得，m2-5m-6=0，
解得m1=-1，m2=6，

∵二次函數的圖象與x軸有兩個交點，
∴△=（2m-1）2-4（m2+3m+4）=-16m-15＞0，
解得

∴m2=6不符合題意，舍去.

所以，二次函數的解析式為y=x2+3x+2；

(2)由(1)可知二次函數的解析式為y=x2+3x+2，
所以，點C的坐標為（0，2），并且

∴當時，x1=-2，x2=-1，

∴函數與x軸的交點坐標為（-2， 0），（-1，0）
∴①當如圖一所示時：

P點坐標為：（-1，2）

②當如圖二所示時：

P點坐標為：（1，2）

③當如圖三所示時：

P點坐標為：（-3，-2）．