Question

【題目】已知中，，交于，且，，，，則的長度為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

過B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延長線于G，則四邊形DGBF是矩形，由矩形的性質得到BG=DF，DG=FB．由△BFC是等腰直角三角形，得到FC=BF=2．

設DE=9x，則CE=7x，EF=CE-FC=7x-2，BG=DF=16x-2，DG=FB=2．

在Rt△ADC和Rt△AGB中，由AC=AB，利用勾股定理得到AD=16x-2．

證明△FEB∽△DEA，根據相似三角形的對應邊成比例可求出x的值，進而得到AD，DE的長．在Rt△ADE中，由勾股定理即可得出結論．

如圖，過B作BF⊥CD于F，BG⊥BF交AD的延長線于G，

∴四邊形DGBF是矩形，

∴BG=DF，DG=FB．

∵∠BCD=45°，

∴△BFC是等腰直角三角形．

∵BC=，

∴FC=BF=2．

設DE=9x，則CE=7x，EF=CE-FC=7x-2，BG=DF=16x-2，DG=FB=2．

在Rt△ADC和Rt△AGB中，∵AC=AB，

∴，

∴，

解得：AD=16x-2．

∵FB∥AD，

∴△FEB∽△DEA，

∴，

∴，

∴28x2-16x+1=0，

解得：x=或x=．

當x=時，7x-2＜0，不合題意，舍去，

∴x=，

∴AD=16x-2=6，DE=9x=，

∴AE=．

故答案為：．