Question

【題目】如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC且DE=AC，連接AE交OD于點F，連接CE、OE．

（1）求證：OE=CD；

（2）若菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】分析：(1)由菱形ABCD中，DE∥AC且DE=AC，易證得四邊形OCED是平行四邊形，繼而可得OE=CD即可；

（2）由菱形的對角線互相垂直，可證得四邊形OCED是矩形，根據菱形的性質得出AC=AB，再根據勾股定理得出AE的長度即可．

本題解析：

（1）證明：四邊形ABCD是菱形，

∴OA=OC=AC，AD=CD，

∵DE∥AC且DE=AC，

∴DE=OA=OC，

∴四邊形OADE、四邊形OCED都是平行四邊形，

（2）解：∵AC⊥BD，

∴OE=AD，

∴OE=CD；

∴四邊形OCED是矩形，

∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴AC=AB=2，

∴在矩形OCED中，CE=OD=．

∴在Rt△ACE中，AE=．