Question

20．如圖，⊙O的兩弦AB、CD相交于E，過E作BC的平行線，交AD的延長線于F，過F點作圓的切線FG，G為切點．
求證：FG=FE．

Answer 1

分析 根據平行線的性質得到∠1=∠C，由圓周角定理得到∠A=∠C，等量代換得到∠1=∠A推出△DEF∽△AEF，根據相似三角形的性質得到$\frac{EF}{AF}=\frac{DF}{EF}$，于是得到EF²=AF•DF，由切割線定理得FG²=AF•DF，求出EF²=FG²，即可得到結論．

解答 證明：∵BC∥EF，
∴∠1=∠C，
∵∠A=∠C，
∴∠1=∠A，
∵∠2=∠2，
∴△DEF∽△AEF，
∴$\frac{EF}{AF}=\frac{DF}{EF}$，
∴EF²=AF•DF，
∵FG是⊙O的切線，
由切割線定理得：FG²=AF•DF，
∴EF²=FG²，
∴FG=FE．

點評 本題考查了切線的性質，切割線定理，相似三角形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．