Question

【題目】如圖，拋物線經過點A（﹣3，0），點C（0，4），作CD∥x軸交拋物線于點D，作DE⊥x軸，垂足為E，動點M從點E出發在線段EA上以每秒2個單位長度的速度向點A運動，同時動點N從點A出發在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設△DMN的面積為S，求S與t的函數關系式；

（3）①當MN∥DE時，直接寫出t的值；

②在點M和點N運動過程中，是否存在某一時刻，使MN⊥AD？若存在，直接寫出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=（0＜t≤3）；（3）①t=；②t=．

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線經過點A（﹣3，0），點C（0，4），可以求得b、c的值，從而可以求得拋物線的解析式；

（2）要求△DMN的面積，根據題目中的信息可以得到梯形AEDC的面積、△ANM的面積、△MDE的面積、△CND的面積，從而可以解答本題；

（3）①根據MN∥DE，可以得到△AMN和△AOC相似，從而可以求得t的值；

②根據題目中的條件可以求得點N、點M、點A、點D的坐標，由AD⊥MN可以求得相應的t的值．

試題解析：（1）∵拋物線經過點A（﹣3，0），點C（0，4），∴，解得：，即拋物線的解析式為：；

（2）作NH⊥AM于點H，如由圖1所示，∵=，∴對稱軸x=，∵點A（﹣3，0），點C（0，4），CD∥x軸交拋物線于點D，DE⊥x軸，垂足為E，∴點D（3，4），點E（3，0），OA=3，OC=4，∴AC=5，AE=6，CD=3，∵NH⊥AM，AN=tME=2t，∴△ANH∽△ACO，AM=6﹣2t，∴，即，得NH=0.8t，∴S=S梯形AECD﹣S△AMN﹣S△DME﹣S△CDN

=（3+6）×4-×（6-2t）×0.8t-×2t×4-×3×（4-0.8t）

=，即S與t的函數關系式是S=（0＜t≤3）；

（3）①當MN∥DE時，t的值是，理由：如右圖2所示

∵MN∥DE，AE=6，AC=5，AO=3，∴AM=6﹣2t，AN=t，△AMN∽△AOC，∴，即，解得，t=；

②存在某一時刻，使MN⊥AD，此時t的值是，理由：如右圖3所示，設過點A（﹣3，0），C（0，4）的直線的解析式為y=kx+b，則：，得：，即直線AC的解析式為，∵NH=0.8t，∴點N的縱坐標為0.8t，將y=0.8t代入，得x=0.6t﹣3，∴點N（0.6t﹣3，0.8t）

∵點E（3，0），ME=2t，∴點M（3﹣2t，0），∵點A（﹣3，0），點D（3，4），點M（3﹣2t，0），點N（0.6t﹣3，0.8t），AD⊥MN，∴，解得：t=．