Question

等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現兩個圖形同時向右移動，△ABC的速度為每秒2個單位，⊙O的速度為每秒1個單位，同時△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個單位沿BA、BC方向增大．

（1）△ABC的邊與圓第一次相切時，點B運動了多少距離？
（2）從△ABC的邊與圓第一次相切到最后一次相切，共經過多少時間？
（3）是否存在某一時刻，△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積？若存在，求出恰好符合條件時兩個圖形各運動了多少時間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當△ABC第一次與圓相切時，應是AC與圓相切．如圖，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點E，連OE并延長，交B′C′于F．設⊙O與直線l切于點D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l．由切線長定理，以及直角三角形的性質可求得CD的值，進而求得CC′的值，從而求得點C運動的時間，也就有了點運動的時間，點B移動的距離可求得；
（2）△ABC與⊙O從開始運動到最后一次相切時，應為AB與圓相切，路程差為6，速度差為1，故從開始運動到最后一次相切的時間為6秒．
（3）若圓能在△ABC的內部時，則存在；若圓O不能在三角形的內部，則不存在；即求在（2）條件下，AC與圓的位置關系即可．

解答：解：（1）設第一次相切時，△ABC移至△A′B′C′處，A′C′與⊙O切于點E，連OE并延長交B′C′于F．
設⊙O與直線l切于點D，連OD，則OE⊥A′C′，OD⊥直線l，
由切線長定理可知C′E=C′D，設C′D=x，則C′E=x，易知C′F=

2

x，
∴

2

x+x=1，
解得：x=

2

-1，
∴CC′=5-1-（

2

-1）=5-

2

，
∴點C運動的時間為（5-

2

）÷（2+0.5）=2-

2 2

5

，
則點B運動的距離為2×（2-

2 2

5

）=4-

4 2

5

；

（2）∵△ABC與⊙O從開始運動到最后一次相切時，是AB與圓相切，且圓在AB的左側，
故路程差為6，速度差為1，
∴從開始運動到最后一次相切的時間為6秒；


（3）不存在，理由為：△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積，即使△ABC的三邊與⊙O相切，
∵△ABC與⊙O從開始運動到第二次相切時，路程差為4，速度差為1，
∴從開始運動到第二次相切的時間為4秒，此時△ABC移至△A″B″C″處，A″B″=1+4×

1

2

=3，
連接B″O并延長交A″C″于點P，易證B″P⊥A″C″，且OP=

3 2

2

-

2

=

2

2

＜1，
∴此時⊙O與A″C″相交，
∴不存在．

點評：此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：圓與直線的位置關系，切線長定理，切線的性質，平移的性質，以及等腰直角三角形的性質，利用了數形結合的思想，是一道較為復雜的試題．