Question

（2010•來賓）如圖，在矩形ABCD（AB＜AD）中，將△ABE沿AE對折，使AB邊落在對角線AC上，點B的對應點為F，同時將△CEG沿EG對折，使CE邊落在EF所在直線上，點C的對應點為H．

（1）證明：AF∥HG（圖（1））；
（2）證明：△AEF∽△EGH（圖（1））；
（3）如果點C的對應點H恰好落在邊AD上（圖（2））．求此時∠BAC的大�。�

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠B=∠BCD=90°，由折疊的性質可得：∠AFE=∠B=90°，∠H=∠BCD=90°，繼而證得AF∥HG；
（2）由折疊的性質可得：∠AEF=∠AEB，∠CEG=∠HEG，又由同角的余角相等，可得∠AEF=∠EGH，即可證得△AEF∽△EGH；
（3）首先連接BF，CH，易得四邊形AECH為平行四邊形，即可得AC=2AB，則可求得∠BAC的度數．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=90°，
由折疊的性質可得：∠AFE=∠B=90°，∠H=∠BCD=90°，
∴AF⊥EH，HG⊥EH，
∴AF∥HG；

（2）由折疊的性質可得：∠AEF=∠AEB，∠CEG=∠HEG，
∴∠AEF+∠HEG=

1

2

∠ABF+

1

2

∠CEH=

1

2

（∠ABF+∠CEH）=

1

2

×180°=90°，
∵∠AFE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠EGH=90°，
∴∠AEF=∠EGH，
∴△AEF∽△EGH；

（3）連接BF，CH，
由折疊的性質可得：AB=AF，∠CEG=∠HEG，
∵B對應F，C對應H，
∴BF⊥AE，EG⊥CH，
∵∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵∠HEG+∠AEF=90°，
∴AE⊥EG，
∴AE∥CH，
∵AD∥BC，
∴四邊形AECH為平行四邊形，
∴AF=FC，
∵AB=AF，
∴AC=2AB，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、平行四邊形的判定與性質以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．