Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x＝的拋物線經過點A(6，0)和B(0，4)．

(1)求拋物線表達式及頂點坐標；

(2)設點E(x，y)是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形．求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)在(2)條件下，是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝(x﹣)2﹣；頂點坐標為(，﹣)；(2) S＝﹣4(x﹣)2+25(1＜x<6)；(3)不存在這樣的點E，使平行四邊形OEAF為正方形．

【解析】

（1）已知拋物線的對稱軸，可用頂點式二次函數通式來設拋物線，然后將A、B兩點坐標代入求解即可．
（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據E點的橫坐標，用拋物線的解析式求出E點的縱坐標，那么E點縱坐標的絕對值即為△OAE的高，由此可根據三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數關系式進而可得出S與x的函數關系式．
(3)如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應該是等腰直角三角形，即E點的坐標為（3，-3）將其代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點．

解：(1)∵拋物線對稱軸為直線x＝，

∴可設拋物線解析式為y＝a(x﹣)2+k，

把A(6，0)，B(0，4)代入可得， 解得

∴拋物線解析式為，

∴頂點坐標為(，﹣)；

(2)∵點E(x，y)在第四象限，

∴y＜0，

∴﹣y表示點E到OA的距離，

令

解得：

即拋物線與軸的另一個交點坐標為：則1＜x＜6；

∵OA是平行四邊形OEAF的對角線，

∴S＝2S△OAE＝2××OA|y|＝﹣6y＝﹣4(x﹣)2+25，其中1＜x＜6；

(3)當OA⊥EF且OA＝EF時，四邊形OEAF是正方形，

此時E點坐標為(3，﹣3)，而坐標為(3，﹣3)的點不在拋物線上，

故不存在這樣的點E，使平行四邊形OEAF為正方形．