Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉，若點B，P在直線a的異側，BM⊥直線a于點M．CN⊥直線a于點N，連接PM，PN．
（1）延長MP交CN于點E（如圖2）． ①求證：△BPM≌△CPE；
②求證：PM=PN；
（2）若直線a繞點A旋轉到圖3的位置時，點B，P在直線a的同側，其它條件不變，此時PM=PN還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；
（3）若直線a繞點A旋轉到與BC邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形MBCN的形狀及此時PM=PN還成立嗎？不必說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①如圖2：

∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，

∴∠BMA=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC邊中點，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM=PE

∴PM= ME，

∴在Rt△MNE中，PN= ME，

∴PM=PN．

（2）證明：解：成立，如圖3．

證明：延長MP與NC的延長線相交于點E，

∵BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，

∴∠BMN=∠CNM=90°

∴∠BMN+∠CNM=180°，

∴BM∥CN

∴∠MBP=∠ECP，

又∵P為BC中點，

∴BP=CP，

又∵∠BPM=∠CPE，

在△BPM和△CPE中，

，

∴△BPM≌△CPE，

∴PM=PE，

∴PM= ME，

則Rt△MNE中，PN= ME，

∴PM=PN．

（3）證明：解：如圖4，

四邊形M′BCN′是矩形，

根據矩形的性質和P為BC邊中點，得到△M′BP≌△N′CP，

得PM′=PN′成立．即“四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立”．

【解析】（1）①根據平行線的性質證得∠MBP=∠ECP再根據BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE則PM= ME，而在Rt△MNE中，PN= ME，即可得到PM=PN．（2）證明方法與②相同．（3）四邊形MBCN是矩形，則PM=PN成立．