Question

【題目】如圖，在矩形中，點為對角線的中點，過點作交于點，交于點，連接，．

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)連接，若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】

（1）由矩形的性質可得∠ACB=∠DAC，然后利用“ASA”證明△AOF和△COE全等，根據全等三角形對應邊相等可得OE=OF，即可證四邊形AECF是菱形；

（2）連接BD，，根據平行四邊形的性質可得AF=CF=10，用勾股定理求得FD=6，在△BDC中，∠DCB=90°，用勾股定理求出BD的值，即可解答.

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

∵O是AC的中點，

∴AO=CO，

在△AOF和△COE中，

∴△AOF≌△COE(ASA),

∴OE=OF，且AO=CO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形；

（2）連接BD，

四邊形AFCE是平行四邊形

AF=CF=10

∠CDF=90°

CF=10，CD=AB=8

FD=6

AD=AF+DF=6+10=16

∠DAB=90°

==

BO=

故答案為：