Question

【題目】對于平面內任意一個角的“夾線圓”，給出如下定義：如果一個圓與這個角的兩邊都相切，則稱這個圓為這個角的“夾線圓”.例如：在平面直角坐標系xOy中，以點（1，1）為圓心，1為半徑的圓是x軸與y軸所構成的直角的“夾線圓”.

(1)下列各點中，可以作為x軸與y軸所構成的直角的“夾線圓”的圓心的點是哪些；

A（2，2），B（3，1），C（-1，0），D（1，-1）

(2)若⊙P為y軸和直線 l：所構成的銳角的“夾線圓”，且⊙P的半徑為1，求點P的坐標.

(3)若 ⊙Q為x軸和直線所構成的銳角的“夾線圓”，且⊙Q的半徑，直接寫出點Q橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）A，D； （2）P點坐標為，（3）

【解析】

（1）由點A的橫縱坐標相等及點D的橫縱坐標的絕對值相等，可得出點A，D能作為x軸與y軸所構成的直角的“夾線圓”的圓心；
（2）過P點作PE⊥y軸于點E，PF⊥直線l于點F，連PO，設直線l與x軸夾角為α，由直線l的解析式可得出α=30°及∠EOF=60°，由⊙P與y軸及直線OF均相切可得出∠EOP=30°，結合EP=1可求出OE=，進而可得出點E的坐標；
（3）過Q點作QM⊥x軸于點M，QN⊥直線y=-x+2于點N，延長MQ交直線y=-x+2于點G，設直線y=-x+2與x軸交于點S，利用一次函數圖象上點的坐標特征可得出點S的坐標，由∠MSG=30°，∠MGS=60°可得出MS=MGtan60°=（2+）r，結合1≤r≤2可得出MS的取值范圍，再將其代入xQ=6+MS或xQ=6-MS即可得出點Q橫坐標xQ的取值范圍．

（1））∵2=2，1=|-1|，
∴點A，D能作為x軸與y軸所構成的直角的“夾線圓”的圓心．

故答案為：點A， D能作為x軸與y軸所構成的直角的“夾線圓”的圓心．

（2）如圖：過P點作PA⊥y軸于點A，PB⊥l于B，連PO.

∵點B為直線上一點

∴設B點坐標為（x，）

設直線與x軸夾角為

∴直線 l與x軸的夾角為30°

∴∠AOB=60°

又∵⊙P與x軸及直線OB均相切，

∴OP平分∠AOB

∴∠AOP=30°

又∵AP=1

∴P點坐標為

同理，當P點在第三象限時，P點坐標為

（3）

理由：如圖2，過Q點作QM⊥x軸于點M，QN⊥直線y=-x+2

于點N，延長MQ交直線y=-x+2于點G，設直線y=-x+2與x軸交于點S．

當y=0時，有-x+2=0，
解得：x=6，
∴點S的坐標為（6，0）．
∵∠MSG=30°，
∴∠MGS=60°，
∴MG=MQ+QG=r+ =r ，
∴MS=MGtan60°=（2+）r，
∵⊙Q的半徑1≤r≤2，
∴2+≤MS≤4+2，
∴2-2≤6-MS≤4-，8+≤6+MS≤10+2，
∴點Q橫坐標xQ的取值范圍為：2-2≤xQ≤4-或8+≤xQ≤10+2．