Question

【題目】如圖，動點M在以O為圓心，AB為直徑的半圓弧上運動（點M不與點A、B 及 的中點F 重合），連接OM．過點M 作ME⊥AB于點E，以BE為邊在半圓同側作正方形BCDE，過點M作⊙O的切線交射線DC于點N，連接BM、BN．
（1）探究：如圖一，當動點M在 上運動時；

①判斷△OEM∽△MDN是否成立？請說明理由；
②設 =k，k是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；
③設∠MBN=α，α是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；
（2）拓展：如圖二，當動點M 在 上運動時；

分別判斷（1）中的三個結論是否保持不變？如有變化，請直接寫出正確的結論．（均不必說明理由）

Answer 1

【答案】
（1）

解：①△OEM∽△MDN成立，理由如下：

∵四邊形BCDE是正方形，

∴BE=BC，∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°，

∴∠EOM+∠EMO=90°，

∵MN是⊙O的切線，

∴MN⊥OM，

∴∠OMN=90°，

∴∠DMN+∠EMO=90°，

∴∠EOM=∠DMN，

∴△OEM∽△MDN；

②k值為定值1；理由如下：

作BG⊥MN于G，如圖一所示：

則BG∥OM，∠BGN=∠BGM=90°，

∴∠OMB=∠GBM，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∴∠OBM=∠GBM，

在△BME和△BMG中， ，

∴△BME≌△BMG（AAS），

∴EM=GM，BE=BG，

∴BG=BC，

在Rt△BGN和Rt△BCN中， ，

∴Rt△BGN≌Rt△BCN（HL），

∴GN=CN，

∴EM+NC=GM+NC=MN，

∴k= = =1；

③設∠MBN=α，α為定值45°；理由如下：

∵△BME≌△BMG，Rt△BGN≌Rt△BCN，

∴∠EBM=∠GBM，∠GBN=∠CBN，

∴∠MBN= ∠EBC=45°，

即α=45°

（2）

解：（1）中的三個結論保持不變；理由同（1），

作BG⊥MN于G，如圖二所示．

【解析】（1）①由正方形的性質得出BE=BC，∠EBC=∠CDE=∠BCD=∠BED=90°，由切線的性質和直角三角形的性質證出∠EOM=∠DMN，即可得出△OEM∽△MDN；②作BG⊥MN于G，則BG∥OM，∠BGN=∠BGM=90°，由平行線的性質和等腰三角形的性質得出∠OBM=∠GBM，由AAS證明△BME≌△BMG，得出EM=GM，BE=BG，證出BG=BC，由HL證明Rt△BGN≌Rt△BCN，得出GN=CN，證出EM+NC=GM+NC=MN，即可得出結論；③由全等三角形的性質得出∠EBM=∠GBM，∠GBN=∠CBN，求出∠MBN= ∠EBC=45°即可；（2）（1）中的三個結論保持不變；解法同（1）．