Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸只有一個交點A（﹣2，0），與y軸交于點B（0，4）．

（1）求拋物線對應的函數解析式；
（2）過點B作平行于x軸的直線交拋物線與點C．
①若點M在拋物線的AB段（不含A、B兩點）上，求四邊形BMAC面積最大時，點M的坐標；
②在平面直角坐標系內是否存在點P，使以P、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知可設拋物線對應函數的解析式為：y=a（x+2）2（a≠0），

∵拋物線與y軸交于點B（0，4）

∴4=a（0+2）2

解得：a=1

∴拋物線對應的解析式為：y=（x+2）2

（2）

解：①如圖1中，設點M的坐標為（m，（m+2）2），其中﹣2＜m＜0，

則N點坐標（m，0）．

∵A、B、C是定點，

∴若要四邊形BMAC的面積最大，

只要BMA的面積最大即可．

過M做MN⊥x軸于點N，則

S△AOB= OAOB= ×2×4=4

S△AMN= ANMN= ×[m﹣（﹣2）]×（m+2）2= （m+2）3

S梯形ONMB= ON（MN+OB）

= ×（﹣m）×[（m+2）2+4]

=﹣ （m3+4m2+8m）

∴S△AMB=S△AOB﹣S△AMN﹣S梯形ONMB

=4﹣ （m+2）3﹣[﹣ （m3+4m2+8m）]

=﹣m2﹣2m，

當m=﹣1時，S△AMB最大，

∵（﹣1+2）2=1

∴此時點M的坐標為（﹣1，1）．

②存在．如圖2中，

∵四邊形ABP1C是平行四邊形，

∴FC=FB，AF=FP1，

∵B（0，4），C（﹣4，4），

∴F（﹣2，4），

設P1（x，y），則有 =﹣2， =4，

∴x=﹣2，y=8，

∴P1（﹣2，8），同法可得P2（﹣6，0），P3（2，0）．

所有滿足條件的點P的坐標是（2，0）、（﹣6，0）、（﹣2，8）

【解析】（1）由已知可設拋物線對應函數的解析式為：y=a（x+2）2（a≠0），把點B坐標代入求出a即可．（2）①）①如圖1中，設點M的坐標為（m，（m+2）2），其中﹣2＜m＜0，則N點坐標（m，0）．若要四邊形BMAC的面積最大，只要BMA的面積最大即可，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．（3）有三種情形，先畫出圖形，利用中點坐標公式一一求解即可．