Question

【題目】如圖，點P是反比例函數圖象上的一動點，軸于點A，在直線上截取點B在第一象限，點C的坐標為，連接AC、BC、OC．

填空：______，______；

求證：∽；

隨著點P的運動，的大小是否會發生變化？若變化，請說明理由，若不變，則求出它的大小．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）證明見解析（3）120°

【解析】

（1）過點C作CE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，由點C的坐標可得出OE，CE的長度，進而可求出OC的長度及∠AOC的度數，由直線OB的解析式可得出∠BOF的度數，再利用∠BOC=180°﹣∠AOC﹣∠BOF即可求出∠BOC的度數；

（2）由（1）可知∠AOC=∠BOC，由點P是反比例函數y（x＜0）圖象上的一動點，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可得出PAOA=16，結合OB=PA及OC=4，可得出，結合∠AOC=∠BOC即可證出△AOC∽△COB；

（3）由△AOC∽△COB利用相似三角形的性質可得出∠CAO=∠BCO．在△AOC中，利用三角形內角和定理可求出∠CAO+∠OCA=120°，進而可得出∠BCO+∠OCA=120°，即∠ACB=120°．

（1）過點C作CE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，如圖所示．

∵點C的坐標為（﹣2，2），∴OE=2，CE=2，∴OC4．

∵tan∠AOC，∴∠AOC=60°．

∵直線OB的解析式為yx，∴∠BOF=60°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC﹣∠BOF=60°．

故答案為：4；60°．

（2）∵∠AOC=60°，∠BOC=60°，∴∠AOC=∠BOC．

∵點P是反比例函數y（x＜0）圖象上的一動點，∴PAOA=16．

∵PA=OB，∴OBOA=16=OC2，即，∴△AOC∽△COB．

（3）∠ACB=120°，不會發生變化．理由如下：

∵△AOC∽△COB，∴∠CAO=∠BCO．

在△AOC中，∠AOC=60°，∴∠CAO+∠OCA=120°，∴∠BCO+∠OCA=120°，即∠ACB=120°．