Question

如圖（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，∠AOB的平分線OC交AB于C，過O點做與OB垂直的直線ON．動點P從點B出發沿折線BC-CO以每秒1個單位長度的速度向終點O運動，運動時間為t秒，同時動點Q從點C出發沿折線CO-ON以相同的速度運動，當點P到達點O時P、Q同時停止運動．
（1）求OC、BC的長；
（2）設△CPQ的面積為S，求S與t的函數關系式；
（3）當P在OC上Q在ON上運動時，如圖（2），設PQ與OA交于點M，當t為何值時，△OPM為等腰三角形？求出所有滿足條件的t值．

Answer 1

（1）∵∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2

3

，
∴∠B=30°，
∴OA=

1

2

OB=

3

，
由勾股定理得：AB=3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，
∴OC=BC，
在△AOC中，AO²+AC²=CO²，
∴(

3

)2+（3-OC）²=OC²，
∴OC=2=BC，
答：OC=2，BC=2．

（2）①當P在BC上，Q在OC上時，0＜t＜2，
則CP=2-t，CQ=t，
過P作PH⊥OC于H，
∠HCP=60°，
∠HPC=30°，
∴CH=

1

2

CP=

1

2

（2-t），HP=

3

2

（2-t），
∴S_△CPQ=

1

2

CQ×PH=

1

2

×t×

3

2

（2-t），
即S=-

3

4

t²+

3

2

t；
②當t=2時，P在C點，Q在O點，此時，△CPQ不存在，
∴S=0，

③當P在OC上，Q在ON上時2＜t＜4，
過P作PG⊥ON于G，過C作CZ⊥ON于Z，
∵CO=2，∠NOC=60°，
∴CZ=

3

，
CP=t-2，OQ=t-2，
∠NOC=60°，
∴∠GPO=30°，
∴OG=

1

2

OP=

1

2

（4-t），PG=

3

2

（4-t），
∴S_△CPQ=S_△COQ-S_△OPQ=

1

2

×（t-2）×

3

-

1

2

×（t-2）×

3

2

（4-t），
即S=

3

4

t²-

3

t+

3

．
④當t=4時，P在O點，Q在ON上，如圖（3）

過C作CM⊥OB于M，CK⊥ON于K，
∵∠B=30°，由（1）知BC=2，
∴CM=

1

2

BC=1，
有勾股定理得：BM=

3

，
∵OB=2

3

，
∴OM=2

3

-

3

=

3

=CK，
∴S=

1

2

PQ×CK=

1

2

×2×

3

=

3

；
綜合上述：S與t的函數關系式是：S=

- 3 4 t2+ 3 2 t(0＜t≤2) 3 4 t2- 3 t+ 3 (2＜t≤4)

；
．

（3）如圖（2），∵ON⊥OB，
∴∠NOB=90°，
∵∠B=30°，∠A=90°，
∴∠AOB=60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，
∴∠NOC=90°-30°=60°，
①OM=PM時，
∠MOP=∠MPO=30°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠MPO=90°，
∴OP=2OQ，
∴2（t-2）=4-t，
解得：t=

8

3

，
②PM=OP時，
此時∠PMO=∠MOP=30°，
∴∠MPO=120°，
∵∠QOP=60°，
∴此時不存在；
③OM=OP時，
過P作PG⊥ON于G，
OP=4-t，∠QOP=60°，
∴∠OPG=30°，
∴GO=

1

2

（4-t），PG=

3

2

（4-t），
∵∠AOC=30°，OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP=75°，
∴∠PQO=180°-∠QOP-∠QPO=45°，
∴PG=QG=

3

2

（4-t），
∵OG+QG=OQ，
∴

1

2

（4-t）+

3

2

（4-t）=t-2，
解得：t=

6+2 3

3

綜合上述：當t為

8

3

或

6+2 3

3

時，△OPM是等腰三角形．