Question

【題目】（問題）

在中，，，點在直線上（除外），分別經過點和點作和的垂線，兩條垂線交于點，研究和的數量關系.

（探究發現）

某數學興趣小組在探究，的關系時，運用“從特殊到一般”的數學思想，他們發現當點是中點時，只需要取邊的中點（如圖1），通過推理證明就可以得到和的數量關系，請你按照這種思路直接寫出和的數量關系；

（數學思考）

那么點在直線上（除外）（其他條件不變），上面得到的結論是否仍然成立呢？

請你從“點在線段上”“點在線段的延長線上”“點在線段的反向延長線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）仍然成立.

.

【解析】

(1)【探究發現】取中點，連接，根據三角形全等的判定即可證明，即可得出和的數量關系;

(2)【數學思考】分三種情況討論:

①若點在線段上， 在AC上截取，連接;

②若點在線段的反向延長線上，在AC反向延長線上截取，連接;

③若點在線段的延長線上，在AC延長線上截取，連接;

根據三角形全等的判定即可證明，即可得出和的數量關系.

（1）和的數量關系為：.

理由：如圖1，取中點，連接，

中，，，

，， 是等腰直角三角形，

，，

，，

，，

在和中

，

.

（2）①如圖2，若點在線段上，在上截取，連接，

，

在和中

，

.

②如圖3，若點在線段的反向延長線上，在反向延長線上截取，連接，

在和中

.

③如圖4，若點在線段的延長線上，在延長線上截取，連接，

在和中

.