Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的長；
（3）當∠ABC=60°，BC=2時，點N為BC的中點，點M為邊BP上一個動點，連接MC，MN，求MC+MN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3；（3）.

【解析】

（1）根據旋轉的性質可得AP=AP′，根據等邊對等角的性質可得∠APP′=∠AP′P，再根據等角的余角相等證明即可；
（2）過點P作PD⊥AB于D，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=DP，然后求得AE的長即可；
（3）由題意得：點D與點C關于BP′對稱，連接DN，求得DN的長即可求得MC+MN的最小值；

（1）證明：∵AP′是AP旋轉得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）如圖，過點P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，

在△APD和△P′AE中，
，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP，
∵AB-BC=4，AC=8，
∴AB=10，BC=6，
設PC=PD=x，則AD=10-6=4，PA=8-x，
在Rt△PDA中，x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴AE=CP=3；
（3）由題意得：點D與點C關于BP′對稱，連接DN，
∵∠ABC=60°，BC=BD，
∴△BCD為等邊三角形，
又∵點N為BC的中點，
∴DN⊥BC，
∵BC=BD=2，
∴BN=1，
∴DN=，
∴MC+MN的最小值為．