Question

【題目】“低碳環(huán)保”已經(jīng)成為一種生活理念，同時(shí)也帶來(lái)無(wú)限商機(jī)．某高科技發(fā)展公司投資2000萬(wàn)元成功研制出一種市場(chǎng)需求量較大的低碳高科技產(chǎn)品．已知生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本是40元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)定為100元時(shí)，年銷售量為20萬(wàn)件；銷售單價(jià)每增加10元，年銷售量將減少1萬(wàn)件，設(shè)銷售單價(jià)為x（元），年銷售量為y（萬(wàn)件），年獲利為z（萬(wàn)元）．（年獲利=年銷售額﹣生產(chǎn)成本﹣投資）
（1）試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，到第一年年底，當(dāng)z取最大值時(shí)，銷售單價(jià)x定為多少？此時(shí)公司是盈利了還是虧損了？
（3）若該公司計(jì)劃到第二年年底獲利不低于1130萬(wàn)元，請(qǐng)借助函數(shù)的大致圖象說(shuō)明，第二年的銷售單價(jià)x（元）應(yīng)確定在什么范圍內(nèi)？

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意知，當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年銷售量減少 （x﹣100）萬(wàn)件，

∴y=20﹣ （x﹣100）=﹣ x+30，

即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣ x+30．

由題意得：

z=y（x﹣40）﹣2000

=（30﹣ x）（x﹣40）﹣2000

=﹣ x2+34x﹣3200，

即z與x之間的函數(shù)關(guān)系是z=﹣ x2+34x﹣3200

（2）解：∵z=﹣ x2+34x﹣3200，

=﹣ （x﹣170）2﹣310．

∴當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值，為﹣310，

即當(dāng)銷售單價(jià)為170元，年獲利最大，并且第一年年底公司還差310萬(wàn)元就可收回全部投資．

（3）解：第二年的銷售單價(jià)定為x元時(shí)，年獲利為：

z=（30﹣ x）（x﹣40）﹣310=﹣ x2+34x﹣1510．

當(dāng)z=1130時(shí)，即1130=﹣ x2+34x﹣1510，

整理得x2﹣340x+26400=0，

解得：x1=120，x2=220．

函數(shù)z=﹣ x2+34x﹣1510的圖象大致如圖所示，

由圖象可以看出：當(dāng)120≤x≤220時(shí)，z≥1130．

故第二年的銷售單價(jià)應(yīng)確定在不低于120元且不高于220元的范圍內(nèi)．

【解析】（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為x元時(shí)，依據(jù)題意可知年銷售量減少（x-100），從而可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而由題意易得z與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（2）利用配方法對(duì)z與x的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行變形，從而可得出當(dāng)x=170時(shí)，z取最大值；即可得出公司是盈利了還是虧損；
（3）首先令獲得的利潤(rùn)為1130萬(wàn)元列出方程，然后從而可求得此時(shí)x的值，然后依據(jù)函數(shù)的圖形可確定出利潤(rùn)不低于1130萬(wàn)元時(shí)，自變量x的取值范圍.