Question

9．如圖，一條拋物線y=-x（x-2）（0≤x≤2）的一部分，記為C₁，它與x軸交于O，A₁兩點，將C₁繞點A₁旋轉180°得到C₂，交x軸于點A₂，；將C₂繞點A₂旋轉180°得到C₃，交x軸于A₃；…如此進行下去，直至得到C₆，若點P（2017，y）在拋物線C_n上，則y=1．

Answer 1

分析 根據拋物線與x軸的交點問題，得到圖象C₁與x軸交點坐標為：（0，0），（2，0），再利用旋轉的性質得到圖象C₂與x軸交點坐標為：（2，0），（4，0），則拋物線C₂：y=（x-2）（x-4）（2≤x≤4），于是可推出橫坐標x為偶數時，縱坐標為0，橫坐標是奇數時，縱坐標為1或-1，只要判斷n的值即可解決問題．

解答 解：∵一段拋物線C₁：y=-x（x-2）（0≤x≤2），
∴圖象C₁與x軸交點坐標為：（0，0），（2，0），
∵將C₁繞點A₁旋轉180°得C₂，交x軸于點A₂；，
∴拋物線C₂：y=（x-2）（x-4）（2≤x≤4），
將C₂繞點A₂旋轉180°得C₃，交x軸于點A₃；
…
∴P（2017，y）在拋物線C₁₀₀₉上，
∵n=1009是奇數，
∴P（2017，y）在x軸的上方，y=1，
∴當x=2017時，y=1．
故答案為1．

點評 本題考查了二次函數與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．