Question

如圖，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O、點(diǎn)A（6，8）和點(diǎn)（3，-5）．
（1）求直線OA的表達(dá)式；
（2）求拋物線的表達(dá)式；
（3）如果點(diǎn)B在線段OA上，與y軸平行的直線BC與拋物線相交于點(diǎn)C，△OBC是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)？

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線OA的表達(dá)式y(tǒng)=kx，把A的坐標(biāo)代入求出k即可；
（2）設(shè)拋物線的表達(dá)為y=ax²+bx，把A的坐標(biāo)和（3，-5）代入得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）設(shè)直線BC與x軸相交于點(diǎn)H，設(shè)B（3m，4m），得出OH=3m，BH=4m，OB=5m，當(dāng)OC=OB時(shí)，得出方程-4m=9m²-14m，當(dāng)BC=OB=5m時(shí)，得出方程-m=9m²-14m，當(dāng)BC=OC時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB，垂足為E，得到方程

7

8

m=9m2-14m，求出方程的解即可得到C的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)直線OA的表達(dá)式y(tǒng)=kx，
∵A（6，8），
∴8=6k，
解得k=

4

3

，
∴所求直線的表達(dá)式為y=

4

3

x，
答：直線OA的表達(dá)式為y=

4

3

x．

（2）設(shè)拋物線的表達(dá)為y=ax²+bx，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，8）、（3，-5），
∴

8=36a+6b -5=9a+3b.

，
解得

a=1 b=- 14 3 .

，
∴所求拋物線的表達(dá)式為y=x²-

14

3

x，
答：拋物線的表達(dá)式為y=x²-

14

3

x．

（3）設(shè)直線BC與x軸相交于點(diǎn)H，
∵BC∥y軸，
∴BC⊥x軸，
設(shè)B（3m，4m），
則OH=3m，BH=4m，OB=5m，
由于△OBC是等腰三角形，
所以當(dāng)OC=OB時(shí)，CH=BH=4m，點(diǎn)C（3m，-4m），
∴-4m=9m²-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=

10

9

，
∴C(

10

3

，-

40

9

)；
當(dāng)BC=OB=5m時(shí)，CH=BC-BH=m，點(diǎn)C（3m，-m），
∴-m=9m²-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=

13

9

，
∴C(

13

3

，-

13

9

)；
當(dāng)BC=OC時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB，垂足為E，BE=

1

2

OB=

5

2

m，
BC=

BE

cos∠OBH

=

5 2 m

4 5

=

25

8

m，CH=BH-BC=4m-

25

8

m=

7

8

m，
點(diǎn)C（3m，

7

8

m），
∴

7

8

m=9m2-14m，
∴m₁=0（舍去），m₂=

119

24

，
∴C(

119

24

，

833

576

)，
答：點(diǎn)C的坐標(biāo)為(

10

3

，-

40

9

)或(

13

3

，-

13

9

)或(

119

24

，

833

576

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，解二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．