Question

【題目】定義：已知點是三角形邊上的一點（頂點除外），若它到三角形一條邊的距離等于它到三角形的一個頂點的距離，則我們把點叫做該三角形的等距點．

（1）如圖1：中，，，，在斜邊上，且點是的等距點，試求的長；

（2）如圖2，中，，點在邊上，，為中點，且．

①求證：的外接圓圓心是的等距點；②求的值．

Answer 1

【答案】（1）或 ； （2）①證明見解析, ②．

【解析】

（1）根據三角形的等距點的定義得出OB=OE或OA=OF，利用相似三角形，表達出對應邊，列出方程求解即可；

（2）①由△CPD為直角三角形，作出外接圓，通過平行線分線段成比例得出DP∥OB，進而證明△CBO≌△PBO，最后推出OP為點O到AB的距離，從而證明點O是△ABC的等距點；

（2）求相當于求，由①可得△APO為直角三角，通過勾股定理計算出BC的長度，從而求出．

解：（1）如圖所示，作OF⊥BC于點F，作OE⊥AC于點E，

則△OBF∽△ABC，

∴

∵，，由勾股定理可得AB=5，

設OB=x，則

∴，

∵點是的等距點，

若OB=OE，

∴

解得：

若OA=OF，OA=5-x

∴，解得

故OB的值為或

（2） ①證明：∵△CDP是直角三角形，所以取CD中點O，作出△CDP的外接圓，連接OP，OB

設圓O的半徑為r，則DC=2r，

∵D是AC中點，

∴OA=3r

∴，

又∵PA=2PB，

∴AB=3PB

∴

∴

∴∠ODP=∠COB，∠OPD=∠POB

又∵∠ODP=∠OPD，

∴∠COB=∠POB，

在△CBO與△PBO中， ，

∴△CBO≌△PBO（SAS）

∴∠OCB=∠OPB=90°，

∴OP⊥AB，

即OP為點O到AB的距離，

又∵OP=OC，

∴△CPD的外接圓圓心O是△ABC的等距點

②由①可知，△OPA為直角三角形，且∠PDC=∠BOC，OC=OP=r

∵在Rt△OPA中，OA=3r,

∴，

∴

∴在Rt△ABC中，AC=4r，，

∴，

∴