Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，點P從點A開始沿AC向點C以2厘米/秒的速度運動；與此同時，點Q從點C開始沿CB邊向點B以1厘米/秒的速度運動；如果P、Q分別從A、C同時出發，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動．

（1）經過幾秒，△CPQ的面積等于3cm2？

（2）在整個運動過程中，是否存在某一時刻t，使PQ恰好平分△ABC的面積？若存在，求出運動時間t；若不存在，請說明理由．

（3）是否存在某一時刻，PQ長為，如果存在，求出運動時間t。

Answer 1

【答案】（1）1或3秒；（2）不存在滿足條件的t；（3）

【解析】

（1）設出運動所求的時間，可將BP和BQ的長表示出來，代入三角形面積公式，列出等式，可將時間求出；
（2）將△PBQ的面積表示出來，根據△=b2-4ac來判斷；

（3）設經過y秒后存在，則PC＝8－2y,CQ=y,根據勾股定理可得PC2+CQ2=()2,求方程即可.

（1）解：設經過x秒，△CPQ的面積等于3cm2．則

x（8﹣2x）=3，

化簡得x2﹣4x+3=0，

解得x1=1，x2=3；

（2）設存在某一時刻t，使PQ恰好平分△ABC的面積．則

t（8﹣2t）=××6×8，

化簡得t2﹣4t+12=0，

b2﹣4ac=16﹣48=﹣32＜0，

故方程無實數根，即不存在滿足條件的t．

（3）設經過y秒后存在PQ長為，則PC＝8－2y,CQ=y,

∵∠C=90°，

∴PC2+CQ2=()2,

解得：y1=,y2=5(不符合題意，舍去),

所以經過秒后，PQ的長為.