Question

1．如圖，P是⊙O的直線AB的延長線上的一點，PC與⊙O相切于點C，∠APC的角平分線交AC于點Q，則∠PQC=45°．

Answer 1

分析 首先連接BC交PQ于E，由PC與圓D相切于點C，根據弦切角定理，即可得∠PCB=∠A，又由AB為直徑，即可得∠ACB=90°，然后由PQ平分∠APC與三角形外角的性質（∠CQP=∠A+∠APQ，∠CEQ=∠PCB+∠QPC），即可證得∠CQP=CEQ，則可求得∠PQC的度數．

解答 解：解：連接BC交PQ于E，
∵PC與圓D相切于點C，
∴∠PCB=∠A，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵PQ平分∠APC，
∴∠APQ=∠QPC，
∵∠CQP=∠A+∠APQ，∠CEQ=∠PCB+∠QPC，
∴∠CQP=∠CEQ=$\frac{180°-90°}{2}$=45°．
故答案為45

點評 此題考查了圓的切線的性質，圓周角的性質，弦切角定理，等腰直角三角形的性質，以及三角形外角的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．