Question

【題目】已知拋物線y＝ax2－2ax＋c與x軸交于A，B兩點，與y軸正半軸交于點C，且A(－1，0)．

(1)一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是 ；

(2)一元二次不等式ax2－2ax＋c＞0的解集是 ；

(3)若拋物線的頂點在直線y＝2x上，求此拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】(1)－1，3；(2)－1＜x＜3；(3) 二次函數的解析式為y＝－x2＋x＋.

【解析】

（1）根據拋物線解析式，求出對稱軸，根據點A、B關于對稱軸對稱，求出點B的坐標即可；

（2）根據拋物線的開口方向，與x軸的交點，即可判定不等式的解集；

（3）根據拋物線經過點A，將其代入，用含a的式子表示出c，求出拋物線的頂點坐標，將其代入直線解析式，即可求出a的值，進而求出c的值即可．

（1）根據題意可知，拋物線的對稱軸是：直線x=．

∵點A（﹣1，0），∴點B的坐標為（3，0），∴一元二次方程的解為：﹣1，3；

故答案為：﹣1，3；

（2）∵二次函數與y軸正半軸交于點C，∴拋物線的開口向下，∴當ax2﹣2ax+c＞0時，不等式的解集為：﹣1＜x＜3；

故答案為：﹣1＜x＜3；

（3）∵拋物線經過點A（﹣1，0），∴a+2a+c=0，即：c=﹣3a，∴﹣=﹣3a﹣a=﹣4a．

∵拋物線的頂點坐標（1，﹣4a）在直線y=2x上，∴﹣4a=2×1，解得：a=﹣，∴c=﹣3a=3×=，∴二次函數的解析式為：y=﹣x2+x+．