Question

關(guān)于x的方程x²-（2a-1）x+（a-3）=0．
（1）求證：無論a為任何實數(shù)，該方程總有兩個不等實數(shù)根；
（2）以該方程的兩根為一直角三角形的兩直角邊長，已知該三角形斜邊上的中線長為

35

2

，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）求證：無論a為任何實數(shù)，該方程總有兩個不等實數(shù)根，只要證明根的判別式△＞0即可；
（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，已知該三角形斜邊上的中線長為

35

2

，即已知直角三角形斜邊的長是

35

，即兩直角邊的平方和是35，利用勾股定理結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到關(guān)于a的方程，求出a的值．

解答：（1）證明：∵△=（2a-1）²-4（a-3）=4a²-4a+1-4a+12=4a²-8a+4+9=4（a-1）²+9＞0，
∴無論a為任意實數(shù)，方程總有兩不等實數(shù)根．

（2）解：由題意得：x₁²+x₂²=35，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=35
∵x₁+x₂=2a-1，x₁x₂=a-3，
∴（2a-1）²-2（a-3）=35，
解得a=-2或

7

2

．
由于方程的兩根是三角形的邊長，則兩根之和2a-1＞0且a-3＞0
則a＞3
∴a=

7

2

答：實數(shù)a的值是

7

2

．

點評：本題解決的關(guān)鍵是依據(jù)直角三角形的性質(zhì)，由已知斜邊上的中線長為

35

2

，能轉(zhuǎn)化為方程的根的關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為解方程的問題求解．