Question

【題目】（12分）（1）如圖1，在平面直角坐標系中，四邊形OBCD是正方形，且D（0，2），點E是線段OB延長線上一點，M是線段OB上一動點（不包括點O、B），作MN⊥DM，垂足為M，且MN=DM．設OM=a，請你利用基本活動經驗直接寫出點N的坐標_____（用含a的代數式表示）；

（2）如果（1）的條件去掉“且MN=DM”，加上“交∠CBE的平分線與點N”，如圖2，求證：MD=MN．如何突破這種定勢，獲得問題的解決，請你寫出你的證明過程．

（3）如圖3，請你繼續探索：連接DN交BC于點F，連接FM，下列兩個結論：①FM的長度不變；②MN平分∠FMB，請你指出正確的結論，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）N（2+a，a）；(2)見解析；（3）見解析.

【解析】 （1）如圖1中，作NE⊥OB于E，只要證明△DMO≌△MNE，即可解決問題.

（2）如圖2中，在OD上取OH=OM，連接HM，只要證明△DHM≌△MBN即可.

（3）結論：MN平分∠FMB成立.如圖3中，在BO延長線上取OA=CF，過M作MP⊥DN于P，因為∠NMB+∠CDF=45°，所以只要證明∠FMN+∠CDF=45°即可解決問題.

解：（1）解：如圖1中，作NE⊥OB于E，

∵∠DMN=90°，

∴∠DMO+∠NME=90°，∠NME+∠MNE=90°，

∴∠DMO=∠MNE，

在△DMO和△MNE中，

，

∴△DMO≌△MNE，

∴ME=DO=2，NE=OM=a，

∴OE=OM+ME=2+a，

∴點N坐標（2+a，a），

故答案為N（2+a，a）．

（2）證明：如圖2中，在OD上取OH=OM，連接HM，

∵OD=OB，OH=OM，

∴HD=MB，∠OHM=∠OMH，

∴∠DHM=180°﹣45°=135°，

∵NB平分∠CBE，

∴∠NBE=45°，

∴∠NBM=180°﹣45°=135°，

∴∠DHM=∠NBM，

∵∠DMN=90°，

∴∠DMO+∠NMB=90°，

∵∠HDM+∠DMO=90°，

∴∠HDM=∠NMB，

在△DHM和△MBN中，

，

∴△DHM≌△MBN（ASA），

∴DM=MN．

（3）結論：MN平分∠FMB成立．

證明：如圖3中，在BO延長線上取OA=CF，

在△AOD和△FCD中，

，

∴△DOA≌△DCF，

∴AD=DF，∠ADO=∠CDF，

∵∠MDN=45°，

∴∠CDF+∠ODM=45°，

∴∠ADO+∠ODM=45°，

∴∠ADM=∠FDM，

在△DMA和△DMF中，

，

∴△DMA≌△DMF，

∴∠DFM=∠DAM=∠DFC，

過M作MP⊥DN于P，則∠FMP=∠CDF，

由（2）可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，

∴∠NMB=∠MDH，∠MDO+∠CDF=45°，

∴∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB．

“點睛”本題考查四邊形綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等三角形，記住一些基本圖形，可以使得我們在觀察新問題的時候很迅速地聯想，屬于中考壓軸題.