Question

【題目】已知：如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點，AD與BE相交于點P，AC、BE相交于點M，AD，CE相交于點N，則下列五個結論：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等邊三角形；⑤連接CP，則CP平分∠BPD，其中，正確的是_____．（填寫序號）

Answer 1

【答案】①③④⑤．

【解析】

①根據△ACD≌△BCE(SAS)即可證明AD＝BE；②根據△ACN≌△BCM(ASA)即可證明AN＝BM，從而判斷AP≠BM；③根據∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根據△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN為等邊三角形；⑤根據角平分線的性質可知.

①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°

∴∠ACE＝60°

∴∠ACD＝∠BCE＝120°

在△ACD和△BCE中

∴△ACD≌△BCE(SAS)

∴AD＝BE；

②∵△ACD≌△BCE

∴∠CAD＝∠CBE

在△ACN和△BCM中

∴△ACN≌△BCM(ASA)

∴AN＝BM；

③∵∠CAD+∠CDA＝60°

而∠CAD＝∠CBE

∴∠CBE+∠CDA＝60°

∴∠BPD＝120°

∴∠APM＝60°；

④∵△ACN≌△BCM

∴CN＝BM

而∠MCN＝60°

∴△CMN為等邊三角形；

⑤過C點作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如圖

∵△ACD≌△BCE

∴CQ＝CH

∴CP平分∠BPD.

故答案為：①③④⑤．