Question

【題目】[感知] 如圖①，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與A、B重合）， ， 易證： △DAP∽△PBC（不要求證明）

[探究]如圖②，在四邊形ABCD中，點P在邊AB上（點P不與A、B重合），

（1）求證：△DAP∽△PBC.

（2）若PD=5，PC=10.BC=8求AP的長.

[應用]如圖③，在△ABC中，AC=BC=4，AB=6，點P在邊AB上（點P不與A、B重合），連結CP，作 ，與邊BC交于點E.當CE=3EB時，直接寫出AP的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）4；[應用]AP=

【解析】

（1）由三角形外角性質可得∠DPB=∠A+∠ADP，然后推出∠ADP=∠CPB即可證明相似；

（2）由相似得到對應邊成比例，建立方程即可求AP；

[應用]同（1）的方法，先證明∠EPB=∠ACP，然后證明△APC∽△BEP，再由對應邊成比例建立方程求AP.

（1）∵∠DPB=∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠CPB=∠A+∠ADP，

∵∠A=∠DPC，

∴∠ADP=∠CPB

∵∠A=∠B

∴

（2）

∴

∴

∴AP=4.

[應用]AP=，理由如下：

∵∠BPC=∠A+∠ACP

∴∠CPE+∠EPB=∠A+∠ACP

∵∠CPE=∠A

∴∠EPB=∠ACP

又∵AC=BC

∴∠A=∠B

∴△APC∽△BEP

∴

∵CE=3EB

∴BE=BC=1

∴

解得AP=