Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，OF⊥BC于點F，交⊙O于點E，AE與BC交于點H，點D為OE的延長線上一點，且∠ODB＝∠AEC.

求證：（1）BD是⊙O的切線；

（2）若EH=2,AH=6,求CE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）4

【解析】試題分析：（1）利用圓周角定理和等角的余角相等即可求出垂直；（2）根據圓周角定理得出兩個角相等，近而求相似的三角形，根據已知線段的長度求出所求線段即可.

試題解析：

（1）∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，

∴∠ODB＝∠ABC，

∵OF⊥BC，

∴∠BFD＝90°，

∴∠ODB＋∠DBF＝90°，

∴∠ABC＋∠DBF＝90°，

即∠OBD＝90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切線　

（2）連接AC，

∵OF⊥BC，

∴，

∴∠ECB＝∠CAE，

又∵∠HEC＝∠CEA，

∴△CEH∽△AEC，

∴ ，

∴CE2＝EH·EA

∴CE=4