Question

如圖（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分別翻折，使點B、D分別落在對角線BC上的點E、F處，折痕分別為CM、AN.
（1）求證：△AND≌△CBM.
（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？
（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.

Answer 1

（1）證明見解析（2）不是菱形，理由見解析（3）2

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B，AD=BC，AD∥BC。
∴∠DAC=∠BCA。
又由翻折的性質(zhì)，得∠DAN=∠NAF，∠ECM=∠BCM，∴∠DAN=∠BCM。
∴△AND≌△CBM（ASA）。
（2）證明：∵△AND≌△CBM，∴DN=BM。
又由翻折的性質(zhì)，得DN=FN，BM=EM，
∴FN=EM。
又∠NFA=∠ACD＋∠CNF=∠BAC＋∠EMA=∠MEC，
∴FN∥EM。∴四邊形MFNE是平行四邊形。

四邊形MFNE不是菱形，理由如下：
由翻折的性質(zhì)，得∠CEM=∠B=90⁰，
∴在△EMF中，∠FEM＞∠EFM。
∴FM＞EM。∴四邊形MFNE不是菱形。
（3）解：∵AB=4，BC=3，∴AC=5。
設(shè)DN=x，則由S_△ADC=S_△AND＋S_△NAC得
3 x＋5 x=12，解得x=，即DN=BM=。
過點N作NH⊥AB于H，則HM=4－3=1。

在△NHM中，NH=3，HM=1，
由勾股定理，得NM=。
∵PQ∥MN，DC∥AB，
∴四邊形NMQP是平行四邊形。∴NP=MQ，PQ= NM=。
又∵PQ=CQ，∴CQ=。
在△CBQ中，CQ=，CB=3，由勾股定理，得BQ=1。
∴NP=MQ=。∴PC=4－－=2。
（1）由矩形和翻折對稱的性質(zhì)，用ASA即可得到△AND≌△CBM。
（2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定即可證明。
（3）設(shè)DN=x，則由S_△ADC=S_△AND＋S_△NAC可得DN=BM=。過點N作NH⊥AB于H，則由勾股定理可得NM=，從而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和已知PQ=CQ，即可求得CQ=。因此，在△CBQ中，應(yīng)用勾股定理求得BQ=1。從而求解。