Question

已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，tan∠A=

3

4

，現將△ABC繞著點C逆時針旋轉α（45°＜α＜135°）得到△DCE，設直線DE與直線AB相交于點P，連接CP．

（1）當CD⊥AB時（如圖1），求證：PC平分∠EPA；
（2）當點P在邊AB上時（如圖2），求證：PE+PB=6；
（3）在△ABC旋轉過程中，連接BE，當△BCE的面積為

25

4

3

時，求∠BPE的度數及PB的長．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉前后三角形的面積不變作為相等關系得到CF=CN，從而判定CP平分∠EPA；
（2）作輔助線構造全等三角形，利用全等的性質和三角函數求解．在PA上截取PM=PE連接CM，過C作CK⊥PA得出，CM=CB=5，再利用三角函數求出BM=6，所以得到PM+PE=6；
（3）要注意有2種情況，△BEC為銳角三角形時和△BEC為鈍角三角形時兩種，不要漏掉．主要利用直角三角形的勾股定理作為等量關系解方程求線段的長度．

解答：解：（1）過C點作CN⊥DE垂足為N，
∵△ABC≌△DEC，
∴AB=DE．
∵S_△ABC=

1

2

AB•CF=S_△DCE=

1

2

DE•CN，
∵CF=CN，
∴CP平分∠EPA．

（2）如圖2在PA上截取PM=PE連接CM，過C作CK⊥PA，
由（1）同理可證CP平分∠EPA，
∴∠EPC=∠APC．
∵PM=PE，PC=PC，
∴△PMC≌△PEC，
∴CE=CM，PE=PM．
又∵CE=CB，
∴CM=CB=5，且CK⊥PA，
∴K為BM的中點，即BK=

1

2

BM，
在△BCK中，cos∠B=

BK

BC

=

1 2 BM

5

=

BM

10

，
在△ABC中，tan∠A=

3

4

=

5

AC

，
∴AC=

20

3

．
∵AB=

52+( 20 3 )2

=

25

3

，
∴cos∠B=

3

5

=

BM

10

．
∴BM=6．
∵BM=PM+PB，
∴PE+PB=6．

（3）如圖3，∵△BCE的面積為

25

4

3

，BC=5，
∴BE=BC=5，∠CED=∠PBC，∠ECB=60°，
∴∠BPE=60°．
過B點BH⊥PE，設BP=x，
∵PE+BP=6，
∴PE=6-x，PH=

1

2

x，BH=

3

2

x．
∴52=(

3

2

x)2+(6-x-

1

2

x)2，x=3±

4

3

3

．
∵3-

4

3

3

＜5，
∴∠BPC=120°，
∴BP＜BC，
∴x=3-

4 3

3

，
∴BP=3-

4 3

3

．
如圖4，當△BEC為鈍角三角形時，同理可得BE=5

3

，PE-PB=6，
∵PE=6+x，∠BPE=60°，x=-3±4

3

∵-3-4

3

＜0，
∴x=4

3

-3．
∴BP=3-

4 3

3

或4

3

-3．

點評：本題考查旋轉相等的性質和解直角三角形的運用，要掌握旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等以及每一對對應點與旋轉中心連線所構成的旋轉角相等．