Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，，點E，F分別是AC，AB上的點，且，猜想：

　　

①的值是_______；

②直線DE與直線CF所成的角中較小的角的度數是_______．

（2）類比探究：如圖2，將繞點A逆時針旋轉，在旋轉的過程中，（1）中結論是否成立，就圖2的情形說明理由．

（3）拓展延伸：

在繞點A旋轉的過程中，當三點共線時，請直接寫出CF的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②30度；（2）成立，理由見解析；（3）或，理由見解析．

【解析】

①由得;

②延長DE、CF交于K，由得，再由可得

（2）連接BD交AC于點G, 先證明可得，再利用“8”字型可得；

（3）過點A作，交直線DE于M,再結合（2）中相似分類討論即可；

（1）①∵菱形ABCD中，

∴,

∵

∴

∴

∴;

②如解題圖1，延長DE、CF交于K，

∵

∴，

∵

∴

∴

∴

∴

（2）成立，理由如下

如解題圖2，連接BD交AC于點G,

∵四邊形ABCD是菱形，

∴

,

,

即直線DE與CF夾角所成的較小角的度數是30度

（3）或

理由如下：

（1）過點A作，交直線DE于M,如解題圖3：

當D,E,F三點共線時

,

由（2）得,

(2)如解題圖4，過點A作,

當D,E,F三點共線時

,

由（2）得