Question

【題目】如圖在RtΔABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過O作OE∥AB，交BC于E．

（1）求證：ED是⊙O的切線；

（2）如果⊙O的半徑為1.5，ED=2，求AB的長．

（3）在（2）的條件下，求△ADO的面積．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）5；（3）1.08．

【解析】

（1）連OD，首先證明△EOC≌△EOD，則可以證得∠EDO=∠ECO=90°，即可證得；

（2）證明OE是△ABC的中位線，在直角△OEC中，利用勾股定理求得OE的長，然后利用三角形中位線定理求得AB的長；

（3）連接CD，則CD是直角△ABC的斜邊AB上的高，根據三角形的面積公式即可求得CD的長，則在直角△ACD中，利用勾股定理求得AD的長，則可求出△ACD的面積，進而求得△ADO的面積．

（1）連OD．

∵OE∥AB，∴∠EOC=∠A，∠EOD=∠ODA．

又∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠EOC=∠EOD．

在△EOC和△EOD中，∵，∴△EOC≌△EOD（SAS），∴∠EDO=∠ECO．

又∵∠ECO=90°，∴∠EDO=90°即ED⊥DO 而點D在⊙O上，∴ED為⊙O的切線．

（2）∵OE∥AB，OA=OC，∴AB=2OE．

在△OCE中，OE= ，∴AB=2OE=5；

（3）連結CD．

∵AC=2OA=3，AB=5，∴BC===4．

∵AC是⊙O的直徑，∴∠CDA=90°，∴CD⊥AB．

在Rt△ABC中，CD⊥AB，∴CDAB=ACBC，∴CD=2.4．

在Rt△ACD中，AD===1.8，∴S△ACD=CDAD=2.16，∴S△ADO=S△ACD=1.08．