Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊上的點F處，折痕為AE．以點A為原點，分別以AD所在的直線為x軸，AB所在的直線為y軸建立坐標系.

（1）寫出點B、D、E、F的坐標；

（2）在坐標軸上是否存在點G，使△AFG是以AF為腰長的等腰三角形？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）B（0，－8），D（10，0），E（10，－5），F（6，－8）；（2）點G的坐標為：（－10，0）或（10，0）或（0，－10）或（0，10）或（12，0）或（0，－16）.

【解析】

（1）由題意可得B，D坐標，AD=AF=10cm，然后利用勾股定理求出BF可得F點坐標，設EF=DE=x，在Rt△EFC中，利用勾股定理構造方程求出EF=DE=5cm，可得E點坐標；

（2）分情況討論：①當AF=AG時，②當AF=FG時，分別利用AF=AG=10cm和點F坐標求出所有符合題意的點G坐標即可.

解：（1）∵AB=8cm，BC=10cm，

∴CD=8cm，AD=10cm，

∴B（0，－8），D（10，0），

根據折疊的性質可得：AD=AF=10cm，

∴BF=cm，

∴F（6，－8），

設EF=DE=x，則EC=8-x，FC=BC-BF=4cm，

∴在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，即x2=（8-x）2+42，

解得：x=5，

∴EF=DE=5cm，

∴E（10，－5），

綜上所述：B（0，－8），D（10，0），E（10，－5），F（6，－8）；

（2）∵AF=10cm，△AFG是以AF為腰長的等腰三角形且點G在坐標軸上，

∴①當AF=AG=10cm時，

如圖所示：G1（－10，0），G2（10，0），G3（0，－10），G4（0，10）；

②當AF=FG時，

∵F（6，－8），

∴G5（12，0），G6（0，－16），

綜上所述：點G的坐標為：（－10，0）或（10，0）或（0，－10）或（0，10）或（12，0）或（0，－16）.