Question

【題目】如圖，已知E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點F.

（1）求證：△ABE≌△FCE；

（2）連接AC、BF，若AE＝BC，求證：四邊形ABFC為矩形；

（3）在（2）條件下，當△ABC再滿足一個什么條件時，四邊形ABFC為正方形.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當△ABC為等腰三角形時，即 AB＝AC， 矩形ABFC為正方形.

【解析】試題分析：（1）根據平行四邊形的性質得到兩角一邊對應相等，利用AAS即可判定全等；

（2）由已知可得四邊形ABFC是平行四邊形，BC=AF，根據對角線相等的平行四邊形是矩形，可得到四邊形ABFC是矩形；

（3）根據一組鄰邊相等的矩形是正方形，可知當AB=AC時即滿足條件.

試題解析：（1）在ABCD中，AB∥CD ,AB＝CD，∴ ∠BAE＝∠EFC，

∵ E為BC的中點，∴ BE＝EC，

∵ ∠AEB＝∠FEC，∴ △ABE≌△FCE；

（2）由（1）知AB∥CD，即 AB∥CF，

∵△ABE≌△FCE，∴ AB＝FC，∴ 四邊形ABFC為平行四邊形，

∴ AE＝EF＝AF，

∵ AE＝BC，∴ BC＝AF，∴ABCD是矩形；

（3）當△ABC為等腰三角形時，即 AB＝AC， 矩形ABFC為正方形.