Question

【題目】如圖①，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D為邊AC上一點，DE⊥AB于點E，點H為BD中點，CH的延長線交AB于點F．

（1）求證：CH＝EH；

（2）若∠CAB＝40°，求∠EHF；

（3）如圖②，若△DAE≌△CEH，點Q為CH的中點，連接AQ，求證：AQ∥EH．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠EHF＝80°；（3）見解析

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊中線的性質證明即可．

（2）先根據等腰三角形的性質得：∠HCB＝∠HBC，∠HEB＝∠HBE，由三角形外角的性質得：∠DHC＝2∠HBC，∠DHE＝2∠HBE，從而有∠CHE＝2∠CBA，計算∠CBA＝50°，根據平角的定義可得結論；

（3）如圖②，連接AH，先證明AE＝ED＝EH＝DH＝CH，得△DEH是等邊三角形，所以∠DHC＝30°，∠AEH＝150°，再證明AC＝AH，根據等腰三角形三線合一可得AQ⊥CH，最后根據同位角相等，兩直線平行可得結論．

（1）證明：如圖①，∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝90°，

在Rt△DEB和Rt△DCB中，∠DEB＝∠DCB＝90°，H為BD的中點，

∴EH＝BD，CH＝BD，

∴EH＝CH；

（2）解：∵H為BD的中點，

∴BH＝BD，

∴BH＝EH＝CH，

∴∠HCB＝∠HBC，∠HEB＝∠HBE，

在△CHB和△EHB中，

∠DHC＝∠HCB+∠HBC，∠DHE＝∠HEB+∠HBE，

∴∠DHC＝2∠HBC，∠DHE＝2∠HBE，

∴∠CHE＝2∠CBA，

在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，

∴∠A+∠CBA＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠CBA＝50°，

∴∠CHE＝100°，

∴∠EHF＝80°；

（3）證明：如圖②，連接AH，

∵△DAE≌△CEH，

∴AE＝EH，∠AED＝∠EHC＝90°，

∵HC＝HE，DH＝BD，

∴AE＝ED＝EH＝DH＝CH，

∴△DEH是等邊三角形，

∴∠DEH＝∠DHE＝60°，

∴∠DHC＝∠EHC﹣∠EHD＝30°，∠AEH＝∠AED+∠DEH＝150°，

∵AE＝EH，DH＝CH，

∴∠EHA＝（180°﹣∠AEH）÷2＝15°，

∠HCD＝（180°﹣∠DHC）÷2＝75°，

∴∠AHC＝∠EHC﹣∠EHA＝75°，

∴∠AHC＝∠ACH＝75°，

∴AC＝AH，

∵Q是CH的中點，

∴AQ⊥CH，

∴∠AQC＝90°，

∴∠AQC＝∠EHC，

∴AQ∥EH．