Question

【題目】直線與雙線交于、兩點，為第三象限內一點．

（1）如圖1，若點的坐標為．

①______，點的坐標為______．

②不等式的解集為______．

③當，且時，求點的坐標．

（2）如圖2，當為等邊三角形時，點的坐標為，試求、之間的關系式．

Answer 1

【答案】（1）①-2，；②或；③；（2）mn=18

【解析】

（1）①直接把點A的坐標代入反比例函數解析式，即可求出a；

由雙曲線的對稱性可知點A和點B關于原點對稱，由關于原點對稱的點橫縱坐標分別互為相反數可得點B的坐標；

②結合圖象可得求即為求使得直線在雙曲線上方時自變量x的取值范圍；

③連接CO，作AD⊥y軸于D點，作CE垂直y軸于E點，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和互余關系，可證得△ADO≌△OEC，由A點的坐標可得CE=OD=3，EO=DA=2，從而確定點C的坐標；

（2）連接CO，作AD⊥y軸于D點，作CE垂直y軸于E點，根據等邊三角形的性質，可得∠ACO=30°，可證明△ADO∽△OEC，由相似三角形的性質和銳角三角函數可用m、n表示出A點的坐標，代入反比例函數解析式可得到m、n間關系.

解：（1）①∵A(a,3)在雙曲線上，

∴，

∴a=-2；

∵點A和點B在直線上和雙曲線上，

∴點A和點B關于原點對稱，

∵A(-2,3)，

∴B(2,-3).

故答案為：-2，；

②由圖象可知直線在雙曲線上方時對應的自變量x的取值范圍為：或，

故的解集為或；

③如圖，連接，作軸于，軸.

∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

在與中

（AAS）.

∴，，

∵，

∴，，

∴；

（2）連接CO，作AD⊥y軸于D點，作CE⊥y軸于E點，

∵反比例函數和正比例函數都是中心對稱圖形，它們都關于原點對稱，

∴OA=OB，

又∵△ABC為等邊三角形，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∵∠AOD+∠DAO=90°，∠COE+∠BOE=90°，∠DOA=∠BOE，

∴∠DAO=∠COE，

∴△ADO∽△OEC，

∴，

由于∠ACO=30°，

，

因為C的坐標為(m, n)，

所以CE=-m，OE=-n，

∴AD=，OD=，

所以A(,).

代入中，

得mn=18.