Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，以A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F；再分別以B、F為圓心，大于的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF，則四邊形ABEF是菱形．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若菱形ABEF的周長為8，，求∠C的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠C=60°．

【解析】

（1）先證明△AEB≌△AEF，推出∠EAB＝∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，得到BE＝AB＝AF，由此即可證明；

（2）連結BF，交AE于G．根據菱形的性質得出AB＝2，AG＝AE＝，再根據三角函數解答即可．

解：（1）在△AEB和△AEF中，，

∴△AEB≌△AEF（SSS），

∴∠EAB＝∠EAF，

∵AD∥BC，

∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，

∴BE＝AB＝AF．

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB＝BE，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）如圖，連結BF，交AE于G．

∵菱形ABEF的周長為8，

∴AB＝×8＝2

∵AE⊥BF，

∴GA＝AE＝，

在Rt△AGB中，cos∠BAE＝＝，

∴∠BAG＝30°，

∴∠BAF＝2∠BAG＝60°，

∴在ABCD中，∠C＝∠BAF＝60°．