Question

【題目】如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系．

（1）直接寫出點M及拋物線頂點P的坐標；

（2）求這條拋物線的解析式；

（3）若要搭建一個矩形“支撐架”AD﹣DC﹣CB，使C、D點在拋物線上，A、B點在地面OM上，則這個“支撐架”總長的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）M（12，0），P（6，6）．（2）y=﹣x2+2x．（3）當m=3米時，AD+DC+CB有最大值為15米．

【解析】

試題分析：（1）根據所建坐標系易求M、P的坐標；

（2）可設解析式為頂點式，把O點（或M點）坐標代入求待定系數求出解析式；

（3）總長由三部分組成，根據它們之間的關系可設A點坐標為（m，0），用含m的式子表示三段的長，再求其和的表達式，運用函數性質求解．

解：（1）M（12，0），P（6，6）．（2分）

（2）設拋物線解析式為：

y=a（x﹣6）2+6 （3分）

∵拋物線y=a（x﹣6）2+6經過點（0，0）

∴0=a（0﹣6）2+6，即a=﹣（4分）

∴拋物線解析式為：y=﹣（x﹣6）2+6，即y=﹣x2+2x．（5分）

（3）設A（m，0），則B（12﹣m，0），C（12﹣m，﹣m2+2m）

D（m，﹣m2+2m）．（6分）

∴“支撐架”總長AD+DC+CB=（﹣m2+2m）+（12﹣2m）+（﹣m2+2m）

=﹣m2+2m+12

=﹣（m﹣3）2+15．（8分）

∵此二次函數的圖象開口向下．

∴當m=3米時，AD+DC+CB有最大值為15米．（9分）