Question

二次函數y=ax²-6ax+c（a＞0）的圖像拋物線過點C（0,4），設拋物線的頂點為D。

（1）若拋物線經過點（1，-6），求二次函數的解析式；
（2）若a=1時，試判斷拋物線與x軸交點的個數；
（3）如圖所示A、B是⊙P上兩點，AB=8，AP=5。且拋物線過點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),并有AD=BD。設⊙P上一動點E（不與A、B重合），且∠AEB為銳角，若＜a≤1時，請判斷∠AEB與∠ADB的大小關系，并說明理由。

Answer 1

(1) ；（2）當0＜a＜0.5時，∠AEB ＜∠ADB ；當a=0.5時，∠AEB =∠ADB ；當0.5＜a≤1時，∠AEB ＞∠ADB.

解析試題分析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，可求a、c的值，即可確定函數解析式；
（2）若 a=1時，計算出△的值，即可判斷拋物線與x軸交點的個數；
（3）由二次函數方程算出對稱軸為x=3，頂點D為（3，4-9a）。因為AD=BD，所以⊿ADB是等腰三角形且對稱軸垂直平分AB。因為AB=8，所以A,B的橫坐標分別為-1和7，縱坐標同為4+7a，所以⊿ADB的高就是A（或B）與D的縱坐標之差16a.因為∠AEB為銳角，所以E點在線段AB的下方（在上方則是鈍角），由于弧AB所對的圓周角都相等，不妨就讓△AEB為一個等腰三角形，即E的橫坐標為3.過E做AB的垂線，必過圓心P，所以△AEB的高為8.
所以，比較16a和8的大小就行。當0＜a＜0.5時，∠AEB ＜∠ADB ；當a=0.5時，∠AEB =∠ADB ；當0.5＜a≤1時，∠AEB ＞∠ADB.
試題解析：（1）把C（0,4）、（1，-6）代入y=ax²-6ax+c，得：
，解得：
所以二次函數的解析式為：.
（2）當a=1時，；
△=（-6）²-4c=36-4c
（i）當36-4c＞0，即c＜9時，拋物線與x軸交點的個數有2個；
（ii）當36-4c=0，即c=9時，拋物線與x軸交點的個數有1個；
（iii）36-4c＜0，即c＞9時，拋物線與x軸沒有交點；
（3）當0＜a＜0.5時，∠AEB ＜∠ADB ；當a=0.5時，∠AEB =∠ADB ；當0.5＜a≤1時，∠AEB ＞∠ADB.
考點: 二次函數綜合題.