Question

【題目】已知，在△ABC中，∠ABC＝90°

（1）如圖1，分別過A、C兩點作經過點B的直線MN的垂線，垂足分別為M、N．

①求證：△AMB∽△BNC；

②若△AMB∽△ABC，求證：AC＝AM+CN；

（2）如圖2，點D是CA延長線上的一點，DE⊥EB，AE＝AB，AD：BC：CA＝3：3：5，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）

【解析】

（1）①根據同角的余角相等得到∠BAM=∠CBN，根據兩角相等的兩個三角形相似證明結論；

②作BH⊥AC，證明△BAM≌△BAH，根據全等三角形的性質得到AH=AM，同理得到CH=CN，證明結論；

（2）過點A作AG⊥BE于G，過點C作CH⊥BE交EB的延長線于H，根據平行線分線段成比例定理得到，根據△AGB∽△BHC，得到，計算即可．

（1）①∵∠ABC＝90°，

∴∠ABM+∠CBN＝90°，

∵AM⊥BM，

∴∠ABM+∠BAM＝90°，

∴∠BAM＝∠CBN，

∵∠BAM＝∠CBN，∠AMB＝∠BNC＝90°，

∴△AMB∽△BNC；

②如圖1，作BH⊥AC于H，

則∠AHB＝∠ABC＝90°，又∠BAH＝∠CAB，

∴△AHB∽△ABC，

∵△AMB∽△ABC，

∴△AMB∽△AHB，

∴∠BAM＝∠BAH，

在△BAM和△BAH中，

，

∴△BAM≌△BAH（AAS）

∴AH＝AM，

同理可證，CH＝CN，

∴AC＝AH+CH＝AM+CN；

（2）如圖2，過點A作AG⊥BE于G，過點C作CH⊥BE交EB的延長線于H，

∵∠DEB＝90°，

∴CH∥AG∥DE，

∴，

在Rt△ABC中，，

∴，

由（1）①可知，△AGB∽△BHC

∴，

∵AE＝AB，AG⊥BE，

∴EG＝GB，

∵，

∴EG：BG：BH＝3：3：2，

設EG＝3a，則BG＝3a，BH＝2a，

∵，

∴，

解得，，

由勾股定理得，，

∴．