Question

【題目】如圖，已知，，，斜邊，將繞點順時針旋轉，得到，連接．點從點出發，沿方向勻速行動，速度為；同時，點從點出發，沿方向勻速運動，速度為；當一個點停止運動，另一個點也停讓運動．連接，，交于點．設運動時間為，解答下列問題：

（1）當為何值時，平分？

（2）設四邊形的面積為，求與的函教關系式；

（3）在運動過程中，當時，求四邊形的面積；

（4）在運動過程中，是否存在某一時刻，使點為線段的中點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，，理由見解析

【解析】

（1）當平分時，≌，得到AO=NO，繼而問題得解；

（2）由，進而求解；

（3）關鍵當時，得到，建立方程解得t的值繼而求解；

（4）關鍵是過點C作CG//OB，得到∽，有，建立關于t的方程求解即可．

解:（1）當平分時，

∵∠AMO=∠NMO，MO=MO，∠AOB=∠COD，

∴≌(ASA)，

∴AO=NO，

∵，，，，

∴NO=AO=,

∴2t=4

∴

（2）如圖，分別為的邊OM，ON上的高

∵∠AOM=∠NOM=60°

∴，，

OM=4+t，ON=2t，

∴

（3）由知，

，MA=OM-DA，而OA=cos60°×AO=2

∴

∴

∴

∴

（4）存在，理由如下

如圖過點C作CG//OB,交MN的延長線于點G ,

∴∠1=∠2，∠3=∠4，PD=PC

≌

∴MD=CG=t，

由CG//OB，易知∽

又∵,

而ON=2t，CN=8-2t，OM=OD+DM=4+t，

∴

解得：，

經檢驗，是原方程的解，

故存在某一時刻，使點為線段的中點．