Question

如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點．若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為　  　．

Answer 1

10.5

由點E、F分別是AC、BC的中點，根據三角形中位線定理得出EF=AB為定值，則GE+FH=GH﹣EF，所以當GH取最大值時，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長的弦，故當GH為⊙O的直徑時，可求得GE+FH的最大值：14﹣3.5=10.5．
解：當GH為⊙O的直徑時，GE+FH有最大值．
當GH為直徑時，E點與O點重合，
∴AC也是直徑，AC=14．
∵∠ABC是直徑上的圓周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=AC=7．
∵點E、F分別為AC、BC的中點，
∴EF=AB=3.5，
∴GE+FH=GH﹣EF=14﹣3.5=10.5．
故答案為10.5．