Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC，連接CD．過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點．
（1）求證：CF為⊙O的切線；
（2）當BF=5，sinF= 時，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC．

∵OA=OC，

∴∠1=∠2．

又∵∠3=∠1+∠2，

∴∠3=2∠1．

又∵∠4=2∠1，

∴∠4=∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CF．

又∵OC為⊙O的半徑，

∴CF為⊙O的切線；

（2）解：連結AD．

在Rt△BEF中，∵∠BEF=90°，BF=5，sinF= ，

∴BE=BFsinF=3．

∵OC∥BE，

∴△FBE∽△FOC，

∴ ．

設⊙O的半徑為r，

∴ ，

∴ ．

∵AB為⊙O直徑，

∴AB=15，∠ADB=90°，

∵∠4=∠EBF，

∴∠F=∠BAD，

∴ ，

∴ ，

∴BD=9．

【解析】（1）連接OC．先根據等邊對等角及三角形外角的性質得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，則OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根據切線的判定即可證明CF為⊙O的切線；（2）連結AD．先解Rt△BEF，得出BE=BFsinF=3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，則 ，設⊙O的半徑為r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB為⊙O直徑，得出AB=15，∠ADB=90°，再根據三角形內角和定理證明∠F=∠BAD，則由sin∠BAD= = ，求出BD的長．
【考點精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．