Question

【題目】一節數學課后，老師布置了一道課后練習題：

如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點O，點PD分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點E，求證：△BPO≌△PDE．

（1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：

根據上述思路，請你完整地書寫本題的證明過程．

（2）特殊位置，證明結論

若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．

（3）知識遷移，探索新知

若點P是一個動點，點P運動到OC的中點P′時，滿足題中條件的點D也隨之在直線BC上運動到點D′，請直接寫出CD′與AP′的數量關系．（不必寫解答過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）CD′=AP′

【解析】

（1）證明：∵PB=PD，

∴∠2=∠PBD，

∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠C=45°，

∵BO⊥AC，

∴∠1=45°，

∴∠1=∠C=45°，

∵∠3=∠PBO﹣∠1，∠4=∠2﹣∠C，

∴∠3=∠4，

∵BO⊥AC，DE⊥AC，

∴∠BOP=∠PED=90°，

在△BPO和△PDE中

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）證明：由（1）可得：∠3=∠4，

∵BP平分∠ABO，

∴∠ABP=∠3，

∴∠ABP=∠4，

在△ABP和△CPD中

∴△ABP≌△CPD（AAS），

∴AP=CD．

（3）解：CD′與AP′的數量關系是CD′=AP′．

理由是：設OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，

則AP=2x+x=3x，

由（2）知BO=PE，

PE=2x，CE=2x﹣x=x，

∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，

∴DE=x，由勾股定理得：CD=x，

即AP=3x，CD=x，

∴CD′與AP′的數量關系是CD′=AP′