Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，點Q為CA延長線上一點，延長QD交BC于點P，連接OD，∠ADQ＝∠DOQ．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）若AQ＝AC，AD＝4時，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2

【解析】

（1）連結(jié)DC，根據(jù)圓周角定理得到∠DCA=∠DOA，由∠ADQ=∠DOQ，可得∠DCA=∠ADQ，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠ADQ+∠ADO=90°，即可得結(jié)論；

（2）根據(jù)切線的判定定理得到PC是⊙O切線，得PD=PC，連接OP，可證得OP∥AD，根據(jù)平行線分線段長比例定理得到OP的長，根據(jù)三角形中位線定理得AB的長，最后由射影定理即可求出結(jié)果．

解：（1）連接DC，

∵，

∴∠DCA=∠DOA，

∵∠ADQ=∠DOQ，

∴∠DCA=∠ADQ，

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DCA+∠DAC＝90°，

∴∠ADQ+∠DAC＝90°，

∵∠ADO=∠DAC，

∴∠ADQ+∠ADO=90°，

∴，即DP是⊙O切線；

（2）∵∠C=90°，OC為半徑．

∴PC是⊙O切線，

∴PD=PC，

連接OP，

∴∠DPO=∠CPO，

∴OP⊥CD，

∴OP∥AD，

∵AQ=AC=2OA，

∴，

∵AD=4，

∴OP=6，

∵O為AC中點、OP∥AD，則OP是△ACB的中位線，

∴AB=12，

∵CD⊥AB，∠ACB=90°，

∴BC2=BDBA=96，

∴BC=，

∴BP=．